Markus Sprecher The Complexity of the P - Matrix Linear Complementarity Problem

The linear complementarity problem (LCP) is a useful framework for linear and convex programming and has also many direct applications, e.g. in control theory, nance, algorithms and game theory. In this thesis we consider the P-Matrix linear complementarity problem (P-LCP) for which it is known that there exist a unique solution for every problem instance. However it is not known how to nd the solution e ciently. The main goal of this thesis was to determine the complexity of P-LCP. A conjecture is that P-LCP is complete in the class PPAD (for polynomial parity argument in a directed graph ). We introduce the class PPAD and give reductions from End of the Line to LCP and from LCP to Bimatrix− which is to nd a Nash equilibrium with negative payo s in a two-player game. In the second part of this thesis we consider the Unique sink orientations (USO) generated by P-LCPs and study pivot rules to nd the unique sink. We consider the class of USOs which are generated by tridiagonal matrices. We prove some properties of these USOs and give an algorithm to nd the sink using O(n2) vertex evaluations. Zusammenfassung Das lineare Komplementaritätsproblem (LCP) ist ein nützliches Werkzeug für lineare und konvexe Programmierung und hat selbst auch direkte Anwendungen, z.B. in der Kontrolltheorie, Finanzwirtschaft und in der Spieltheorie. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns vor allem mit dem lineraren Komplementaritätsproblem mit P-Matrix für welches bekannt ist, dass es für jede Probleminstanz eine eindeutige Lösung gibt. Es ist allerdings kein schneller Algorithmus bekannt um die Lösung zu nden. Das Hauptziel dieser Arbeit war die Komplexität von P-LCP zu bestimmen. Eine Vermutung ist, dass P-LCP PPAD-vollständig ist. PPAD steht für polynomial parity argument in a directed graph . Wir präsentieren die Klasse PPAD und zeigen eine Reduktion von End of the line nach LCP sowie von LCP zu Bimatrix−, das heisst das Problem ein Nash Gleichgewicht mit negativen Payo s in einem zwei-Spieler Spiel zu nden. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Unique-Sink-Orientation die von P-LCPs generiert werden und Pivot Regeln um die Senke zu nden. Wir untersuchen die Klasse von Unique-Sink-Orientation die von tridiagonalen Matrizen erzeugt werden. Wir beweisen einige Eigenschaften dieser Orientierungen und präsentieren einen Algorithmus der die Senke in O(n2) Knotenauswertungen ndet.